基于有限状态斜帐篷映射的图像加密算法

针对图像加密算法中迭代性高、低维离散混沌加密密钥空间小、保密性低等特点，我们提出了一种基于有限状态斜帐篷映射的混沌加密方法。该方法采用一种有限状态skew tent映射来产生伪随机整数序列，然后依据该混沌序列控制图像像素的置换和灰度值的修改，攻击者在不知道密钥的情况下，加密图像不能被正确重建。

一、有限状态斜帐篷混沌映射

考虑如下一维离散时间非线性动力学系统Xk+1=τ(xk），其中Xk∈P，k=0，1，2，…，称之为状态；而τ：P→P是一个映射，将当前状态Xk映射到下一个状态Xk+1，如果由初始值x0反复应用τ，就得到一个序列{Xk｝k=o，1，2，…，这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。

定义有限状态斜帐篷映射fa(x)：{1，2，…，M}→{1，2，…，M}为：

fa（x）是一维正合的，因而也是混合和遍历的，其中控制参数a=0.5时，(1)式即为Tent映射，f的Lyapunov指数定义为：

有限状态帐篷映射fa（x）{1，2，…，M}→{1，2，…，M}是一个双射，在有限精度数字计算机中迭代时，由于截断误差，x将很快落人一个循环。将区间[o，1]分成M等分，将外部密钥P和密文C表示为所有的等分点构成一个状态集合：

同时将外部密钥空间K定义为：

基于fa，可以构造一个在P上的有限状态映射fa。

其中a∈K，[z]表示小于z且与z最接近的古的倍数。

为了使混沌映射在整数集上运算，在(2)式的基础上，重新定义明文空间、密文空间、密钥空间和混沌映射FA如下：

其中P’为明文空间，C’为密文空间，K’为密钥空间。

二、图像加密算法

图像加密算法过程如下：

Step1：设待加密图像Ie={o≤fk(i，j)≤255)，若图像为彩色图像，k=1，2，3分别对应三个彩色分量R、G、B；若图像为灰度图像，k=1，i=0，1，2，…，M-1，j=0，1，2，…，N-1，图像分辨率为MxN。不失一般性，假设明文图像大小为t= 256×256，对于比之大或比之小的图像，可以分别采取分割为256×256的块组或填充至256×256的办法。

Step2:利用有限状态斜帐篷映射产生伪随机整数序列Sk∞=0，Sk∈(1，M))，该序列对初始值十分敏感，不同的初始值将产生完全不同的随机参数序列，从而达到像素置乱之目的。

Step3:二值序列，可以通过定义一个阈值函数Ⅱ，由上述的伪随机整数序列得到2H值混沌序列，阈值函数Ⅱ定义为：

Step4:在对MxN的图像进行位置置换时，一般做法是建立一个等大的输出空间，将此空间中的每个像素坐标（i，j）作为初始值代人混沌映射序列T1 (x)=Cn-1Cn-2…C1C0中，对于某一个像素点（i，j）的灰度值I（i，j），0≤/(i，j)≤255，将它表示为二进制形式I7I6…I1I0。利用2H值混沌序列T(x)=Cn-1Cn-2…C1C0来修改I7I6…I1I0。

Step5:执行混沌置乱算法，混沌置乱采用的是使用较多的猫映射，也叫Amold映射，其定义为：

从式(3)不难看出，Arnold映射过程是把原图像位置（x，y）上的像素映射到(x’，y')位置上，那么其逆映射即为把(x’，y')的像素映射到(x’，y')位置上．因此，可以用原来式(3)的映射过程，通过（x，y）求得(x’，y')后，把位置(x’，y')上的像素移动到（x，y）上便实现逆映射过程，该逆映射方法简单，不需要进行判断。

Step6:图像加密过程结束。

本文设计的加密算法是对称的，也就是图像文件加密和解密都使用同一个密钥，因此解密算法是上述加密算法的逆过程。

三、加密算法安全性分析

1、密文统计特性与密文相关性

明文图像一般具有某种统计特征，经过图像文件加密处理后，这种统计特性应该消失，即密文图像的灰度分布应该是均匀的，从图1可以发现，加密算法在消除明文图像的统计特性方面是有效的。

分别测试密文图像中垂直方向、水平方向和对角线方向相邻像素之间的相关性。首先，从密文图像中随机选择1000对相邻像素点；然后，通过下式计算每对相邻像素点之间的相关系数：

其中x和y是相邻两个像素点的灰度值。在数值计算中，使用如下离散公式计算：

2、密文图像受损攻击

数字图像在传输过程中，难免经过必要的数据处理或遭受人为攻击，如压缩、滤波、噪声污染、破损和几何失真等，算法应该具有抵抗这种攻击和干扰的能力，在密文图像受到破损攻击后，经解密算法，破损部分应该没有扩散，其余部分应能正确还原，图2所示为密文图像破损攻击，设定密文图像的左上方有一块15 ×10大小的图像像素丢失，设丢失部分的图像像素灰度值为0，图2(d)所示为解密结果，可以发现解密图像与明文图像相似程度很高。

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