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基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

更新时间:2022-10-28 15:44:28


本文简介:为了增强分数傅立叶变换在图像信忠加密领域的复杂性,我们提出了一种基于分数傅立叶交换生成序列多样性的图像加密算法,这种加密算法根据分数傅立叶变换的生成序列的多样性,构造不同的分数傅立叶变换的核函数,利用各级的生成序列、二维变换阶次以及相位编码时使用的随机矩阵作为算法中的密钥,对相位编码后的图像进行3次不同的分数傅立叶变换,达到对图像文件加密的目的。一、分数傅立叶变换及其生成序列的多样性分数傅立叶变换

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

为了增强分数傅立叶变换在图像信忠加密领域的复杂性,我们提出了一种基于分数傅立叶交换生成序列多样性的图像加密算法,这种加密算法根据分数傅立叶变换的生成序列的多样性,构造不同的分数傅立叶变换的核函数,利用各级的生成序列、二维变换阶次以及相位编码时使用的随机矩阵作为算法中的密钥,对相位编码后的图像进行3次不同的分数傅立叶变换,达到对图像文件加密的目的。

一、分数傅立叶变换及其生成序列的多样性

分数傅立叶变换(fractional Fourier transfonn,HFr)是傅立叶变换的一种广义形式。

1、分散傅立叶变换的生成序列

{φn(t);n∈N}是构成傅立叶变换(Fourier transform,FT)的特征函致的复规范正交基,满足如下条件:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

FT相应的特征值μn可以表示为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

结合傅立叶级数的性质,由FT的规范正交基和特征值可以导出FT的函数的展开式:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

分数傅立叶变换是通过选取和傅立叶变换算子相同的特征函数并将其特征值分数化得到的,将式(3)中的特征值μn用它的α次幂μαn代替即可得到分数傅立叶变换的核函数表达式:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

傅立叶变换和分数傅立叶变换都是选取Hennite-Gauss( HG)函数作为规范正交基,如下式所示:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

式中,Hn(t)=(- 1)net2dne-t2/dtn是N阶Hennite多项式。

如同开平方运算可以得到多个值一样,一个复指数的实数次幂的运算结果也是不惟一的,特征值的分数次幂μαn的所有可能值为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

式中,qn是任意整数序列,选择不同的qn将导致不同特征值,因而产生不同的分数傅立叶变换的定义,称gn= n+4qn(n=0,1,2,…)是FRFT的生成序列。因此,由于生成序列的多样性可以产生的多种分数阶傅立叶变换的核函数,导致分数傅立叶变换的定义不是惟一的,而是存在多种形式。

2、分数傅立叶变换的多样性

分数傅立叶算子Fα主要由其核函数以ψα(f,t)决定,信号s(t)的α阶分数傅立叶变换可以写成:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

1)当gn=n时,由式(4)、(5)和(6)推导可以得到FRFI'的核函数:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

结合式7,即得到信号s(t)的分数傅立叶变换:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

式中,α是分数傅立叶变换的阶次,

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

2)当gn=n+8时,由式(8)和(9)可以得到信号s(t)的分数傅立叶变换为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

3)当gn= 3n时,同理可以得到信号s(t)的分数傅立叶变换为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

3、二维离散分数傅立叶变换

对于二维的图像信号I(P,Q),其二维离散分数阶傅立叶变换和反变换分别为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

式中,ψ(α,β)(p,q,m,n)=ψα*ψβ,ψα和ψβ为一维离散分数傅立叶变换的核函数。

二、图像的加密和解密算法

本文提出的图像加密流程如图1所示。首先使用相位函数ej2dr与图像I(i,j)相乘进行相位编码,其中φ1,φ2,φ3均是均值为0、方差为1的随机矩阵,该矩阵和图像大小一致。相位编码后,选取g = n时的分数傅立叶变换方式进行阶次为(P1,P2)的第一级加密,产生I1(i,j)。随后分别产生随机矩阵φ2,φ3,来进行相位编码,使用(n +8)、(3n)作为生成序列gn,选取(P3,P4)和(P5,p6)作为分数傅立叶变换的阶次进行第2级和第3级加密,最后得到加密后的图像I3(i,j)。

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

在对图像进行解密时,必须知道进行各级相位编码的随机矩阵φi(i=1.2,3),各级分数傅立叶变换的生成序列gn以及每次进行二维分数傅立叶变换的阶次(pi,pj),才能获取正确的解密图像。

三、仿真实验结果

仿真实验中,我们选取256×256的Jena灰度图像I(i,j)作为测试图像,如图2(a)所示.随机产生φi(i=1,2,3),选取3次二维分数傅立叶变换的阶次均为(0.88,1.06)。加密后的图像如图2(b)所示,在获取正确密钥时,解密后可以得到和图2(a)相同的图像。

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

实验结果表明,在解密过程中,第3级的分数傅立叶变换阶次(- P5,- p6)敏感度最强,只要它有微小的改变,即使在其他2级变换阶次(-p3,- P4),(-P1,- P2),随机矩阵φ2,φ1和2个生成序列gn全部都正确,也无法得到正确的解密图像。当选的p5= 0.78,P6=1.06,且其他密钥均选取正确数值,解密后的图像(如图2(c)所示)和原始图像相差甚远。图2(d)显示了P1,P3,p5的偏离对解密图像带来的影响。图2(d)中的横坐标为各级变换阶次的偏离量,纵坐标是解密后图像的均方误差(MSE),具体算法为:

基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法

式中,I(i,j)和I'(i,j)分别为原始输入图像和解密后的图像,从图2(d)中可以看出在解密过程中p5的微弱偏离带来的图像失真最多。所以随着变换级数的增多,最后一级的变换阶次的敏感度也会逐渐增强,算法的安全性也会大大提高。

实验结果证明了基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法的有效性、安全性,并说明随着变换级数的增多,算法的安全性也将得到更大的提高,在信息安全领域也将有着广阔的发展前景。

小知识之傅立叶变换

傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

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基于3DES加密算法的研究

关于加密方法,我们之前有介绍过很多,最近大出风头的秀尔算法和DES、MD5等等一直占据鳌头,今天我们来介绍一个小众的加密算法——就是3DES。

加密算法主要通过软件和硬件两种方式来实现,软件的实现方式具有灵活方便的优点,同时也具有加密速度受限制的缺点。采用硬件实现加密算法是实际应用中必须要考虑到的问题。目前经常采用硬件FPGA等来实现,该种实验方式具有处理速度快的特点,但是对系统的复杂度要求较高。

嵌入式微处理器具有实现简单,系统集成度高,体积小,易于移植等众多优点,因此有必要研发基于嵌入式微处理器的加密算法硬件设备,在此提出一种基于ARM处理器的3DES的硬件实现方法。

3DES算法原理

DES是美国国家标准局颁布的数据加密算法,作为世界范围内的公开加密标准已经使用了20多年。随着计算机处理速度的提高,DES算法面临着一些安全威胁,DES采用56位密钥,曾经有人用穷举搜索法对DES进行过密钥搜索攻击。

近年来也有人提出了差分和线性攻击方案,该方案的实施必须有超高速计算机的支持。为了增强DES算法应对差分或线性攻击的可能性,人们提出了一系列改进方案,采用增加密钥长度是一种可行的途径。

为了增加密钥的长度,可将分组密码进行级联,在不同的密钥作用下,连续多次对一组明文进行加密。其中,最有效的方法是使用三重DES加密,它可使加密密钥长度扩展到128位,在提高加密强度的同时,足以应付目前的各种攻击。

DES是一个分组加密算法,它以64位为分组对数据加密。64位的分组明文序列作为加密算法的输入,经过16轮加密得到64位的密文序列。加密的密钥为64位,实际长度为56位,DES算法的保密性取决于密钥。DES对64位的明文分组进行操作。

首先通过一个初始置换IP,将64位的明文分成各32位长的左半部分和右半部分,该初始置换只在16轮加密过程进行之前进行一次。在经过初始置换操作后,对得到的64位序列进行16轮加密运算,这些运算被称为函数f,在运算过程中,输入数据与密钥结合。经过16轮运算后,左、右两部分合在一起得到一个64位的输出序列,该序列再经过一个末尾置换IP-1,获得最终的加密结果。过程如图1所示。

在每一轮加密过程中,函数厂的运算包括以下四个部分:

首先进行密钥序列移位,从移位后的56位密钥序列中选出48位;

然后通过一个扩展置换将输入序列32位的右半部分扩展成48位,再与48位的轮密钥进行异或运算;

再者通过8个s盒将异或运算后获得的48位序列替代成一个32位序列;

最后对32位序列应用置换P进行置换变换,得到-厂的32位输出序列。将函数厂的输出与输入序列的左半部分进行异或运算后的结果作为新一轮加密过程输入序列的右半部分,当前输入序列的右半部分作为新一轮加密过程输入序列的左半部分。

上述过程重复操作16次,便实现了DES的16轮加密运算。

假设Bi是第i轮计算的结果,则Bi为一个64位的序列,Li和Ri分别是Bi的左半部分和右半部分,Ki是第i轮的48位密钥,且f是实现代换、置换及密钥异或等运算的函数,那么每一轮加密的具体过程为:

以上操作的详细过程如图2所示。

在3DES加密算法中,加密过程用两个不同的密钥K1和K2对一个分组消息进行三次DES加密。首先使用第一个密钥进行DES加密,然后使用第二个密钥对第一次的结果进行DES解密,最后使用第一个密钥对第二次的结果进行DES加密。

解密过程首先使用第一个密钥进行DES解密,然后使用第二个密钥对第一次的结果进行DES加密,最后再使用第一个密钥对第二次的结果进行DES解密。

DES算法的密钥长度是56位,三重DES算法的密钥长度是112位,加密强度显著增强,可以很好地应付各种攻击,目前尚没有可行的攻击方法,应用3DES的加密系统具有很大的实用价值。

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